Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：OE∥平面PDC；
（3）求四面體P-BCE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)F為DC的中點(diǎn)，連接BF，先證明出四邊形ABFD為正方形，進(jìn)而證明O為AF，BD的交點(diǎn)，進(jìn)而分別求得BD，OP，AO，利用PO²+AO²=PA²證明出PO⊥AO，最后利用線面垂直的判定定理證明出結(jié)論．
（2）先證明OE∥PF，進(jìn)而利用線面平行的判定定理證明出OE∥平面PDC．
（3）分別求得△PBC的面積和E到面PBC的距離，進(jìn)而利用體積公式求得答案．

解答：
（1）證明：設(shè)F為DC的中點(diǎn)，連接BF，則DF=AB，
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四邊形ABFD為正方形，
∵O為BD的中點(diǎn)，
∴O為AF，BD的交點(diǎn)，
∵PD=PB=2，PO⊥BD，
BD=

AD2+AB2

=2

2

，
∴OP=

PB2-BO2

=

2

，AO=

1

2

BD=

2

，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，
∴PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD．
（2）連接PF，
∵O為AF的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)，
∴OE∥PF，
∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，
∴OE∥平面PDC．
（3）PC=2

3

，PB=2，BC=2

2

，∠PBC是直角，
∴S_△PBC=2

2

，
∵E到平面PBC的距離為

1

2

，
∴V_E-PBC=

1

3

S_△PBCd_E-PBC=

1

3

×2

2

×

1

2

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生空間觀察能力和分析能力．