Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，且a1+a3=20，a2=8． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè) ，Sn是數(shù)列{bn}的前n項和，對任意正整數(shù)n不等式 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，a1+a3=20，a2=8．

則 ，

∴2q2﹣5q+2=0

∵公比q＞1，∴ ，∴數(shù)列{an}的通項公式為 ．

（Ⅱ）解：∴

Sn=

∴

∴Sn= =

∴ 對任意正整數(shù)n恒成立，設(shè) ，易知f（n）單調(diào)遞增．

n為奇數(shù)時，f（n）的最小值為 ，∴ 得 ，

n為偶數(shù)時，f（n）的最小值為 ，∴ ，

綜上， ，即實數(shù)a的取值范圍是 ．

【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，l利用a1+a3=20，a2=8．列出方程組，求出首項與公比然后求解通項公式．（Ⅱ）利用錯位相減法求和求出Sn，∴ 對任意正整數(shù)n恒成立，設(shè) ，f（n）單調(diào)遞增．通過n為奇數(shù)時，n為偶數(shù)時，分別f（n）的最小值，求解實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系)．