Question

已知：二次函數(shù)f（x）的兩個零點分別為x=1和x=2，且f（x）在（0，f（0）處的切線與直線3x+y=0平行；
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若α，β是方程f（x）=-ax+1的兩個根，求α²+β²的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）設(shè)f（x）=a（x-1）（x-2）=a（x²-3x+2），求導數(shù)，利用f（x） 在（0，f（0）處的切線與直線3x+y=0平行，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）由△=（a-3）²-4=a²-6a+5≥0得a≤1或a≥5，α，β是方程x²+（a-3）x+1=0的兩個根，利用韋達定理，即可求α²+β²的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵x=1，x=2是函數(shù)f（x）的兩個零點
∴設(shè)f（x）=a（x-1）（x-2）=a（x²-3x+2）…（3分）
∴f′（x）=a（2x-3），…（4分）
又f（x） 在（0，f（0）處的切線與直線3x+y=0平行，
∴f′（0）=-3a=-3，∴a=1   …（5分）
∴f（x）=x²-3x+2；…（6分）
（Ⅱ）由f（x）=-ax+1得x²+（a-3）x+1=0
∴由△=（a-3）²-4=a²-6a+5≥0得a≤1或a≥5…（8分）
又∵α，β是方程x²+（a-3）x+1=0的兩個根
∴α+β=a-3，αβ=1…（9分）
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=（a-3）²-2
=a²-6a+7，（ a≤1或a≥5）…（10分）
∴α²+β²∈[2，+∞）
∴α²+β²的取值范圍是[2，+∞）．…（12分）

點評：本題考查導數(shù)的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．