Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-px+1，p為常數(shù)（p＞0），$g（x）=\frac{3}{2}a{x^2}-xlnx-（3a-1）x+\frac{3}{2}a-1$．
（1）若對(duì)任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范圍；
（2）對(duì)任意的x∈[1，+∞），函數(shù)g（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）≤0，構(gòu)造函數(shù)令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}$，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，即可得到結(jié)果．
（2）對(duì)任意的x∈[1，+∞），函數(shù)g（x）≥0恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=g′（x），再求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)1⁰當(dāng)a≤0，2⁰當(dāng)$a≥\frac{1}{3}$，3⁰a∈（0，$\frac{1}{3}$），分別請(qǐng)假函數(shù)的最值，利用恒成立，請(qǐng)假即可．

解答 解：（1）$f（x）≤0⇒p≥\frac{lnx+1}{x}$，
令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}$，則${g^'}（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，
∴x∈（0，1），g（x）↑，x∈（1，+∞），g（x）↓，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴p≥1．
（2）g′（x）=3ax-lnx-3a，
令h（x）=g′（x），
則${h^'}（x）=\frac{3ax-1}{x}$，g（1）=0，g′（1）=0，
1⁰當(dāng)a≤0，x∈[1，+∞），h′（x）≤0⇒h（x）↓
又h（1）=g′（1）=0⇒g′（x）=h（x）≤0⇒g（x）↓⇒g（x）≤0（x∈[1，+∞）），
不符合題意，舍，
2⁰當(dāng)$a≥\frac{1}{3}$，x∈[1，+∞），h′（x）≥0⇒h（x）↑
又h（1）=g′（1）=0⇒g′（x）=h（x）≥0⇒g（x）↑⇒g（x）≥0（x∈[1，+∞）），
3⁰a$∈（0，\frac{1}{3}）$，x∈[1，+∞），${h^'}（x）=0⇒x=\frac{1}{3a}＞1$$⇒x∈（1，\frac{1}{3a}）$時(shí)h′（x）＜0，
∴$x∈（1，\frac{1}{3a}）$時(shí)，g′（x）=h（x）↓，又g（1）=0，
∴$x∈（1，\frac{1}{3a}]$時(shí)，g（x）≤0
（必須證明，如果只證明$a≥\frac{1}{3}$符合題意，沒(méi)有證明另外情況不符合題意的減3到5分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．