19.設(shè)p:關(guān)于x的不等式x+$\frac{1}{x}$≥a2-a對任意的x∈(0,+∞)恒成立;q:關(guān)于x的方程x+|x-1|=2a有實數(shù)解.若p∧q為真,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 先求出使命題p,q為真命題的實數(shù)a的取值范圍,再由p∧q為真,等價于p和q都為真,求出交集可得答案.

解答 解:對于p,當x∈(0,+∞)時,$x+\frac{1}{x}≥2$,當且僅當x=1時取等號,…(2分)
所以2≥a2-a,得-1≤a≤2. …(4分)
對于q,由$2a=x+|x-1|=\left\{\begin{array}{l}2x-1,x≥1\\ 1,\begin{array}{\;}x<1\end{array}\right.\end{array}\right.$,
函數(shù)$y=\left\{\begin{array}{l}2x-1,x≥1\\ 1,\begin{array}{\;}x<1\end{array}\right.\end{array}\right.$的值域是[1,+∞),…(6分)
所以2a≥1,得$a≥\frac{1}{2}$. …(8分)
因為p∧q為真,等價于p和q都為真.
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{2}}\\{-1≤a≤2}\end{array}}\right.$,得 $\frac{1}{2}≤a≤2$…(10分)

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了恒成立問題和存在性問題,難度中檔.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

9.在△ABC中,角A,B,C的對邊是a,b,c,已知2b-c=2acosC.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若4(b+c)=3bc,a=2$\sqrt{3}$,求△ABC的面積S.

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10.如圖,在三棱錐P-ABC中,△ABC是等邊三角形,D是AC的中點,PA=PC,二面角P-AC-B的大小為60°;
(1)求證:平面PBD⊥平面PAC;
(2)求AB與平面PAC所成角的正弦值.

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7.若直線過點($\sqrt{3}$,-3)且傾斜角為30°,則該直線的方程為y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x-4.

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14.設(shè)函數(shù)y=log3x與y=3-x的圖象的交點為(x0,y0),則x0所在的區(qū)間是( 。
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

4.已知0<x<$\frac{5}{4}$,則x(5-4x)的最大值是$\frac{25}{16}$.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.如圖1,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,AD=AE,F(xiàn)是BC的中點,AF與DE交于點G,△ABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐A-BCF,其中BC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
(1)求證:平面DEG∥平面BCF;
(2)若D,E為AB,AC上的中點,H為BC中點,求異面直線AB與FH所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

8.下列函數(shù)中,可能是奇函數(shù)的是( 。
A.f(x)=x2+ax+1,a∈RB.f(x)=x+2a-1,a∈R
C.f(x)=log2(ax2-1),a∈RD.f(x)=(x-a)|x|,a∈R

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.設(shè)實數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+2y-6≤0\\ 2x+y-6≤0\end{array}\right.$,則z=|x-1|+|y+2|的取值范圍為[2,6].

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