Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中且．設(shè)．

（）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集．

（）若函數(shù)滿足：圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在處取得最小值，試確定、和應(yīng)滿足的與之等價(jià)的條件．

Answer 1

【答案】（1）解集為；（2）見解析.

【解析】分析：（）由平面向量數(shù)量積公式、結(jié)合輔助角公式可得，令，從而可得結(jié)果；（）“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值”．因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，，故有，

∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；此時(shí)，，對(duì)討論兩種情況可得使得函數(shù)滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值的充要條件”是“，時(shí)，，；或當(dāng)時(shí)，，”.

詳解：（）根據(jù)題意，

當(dāng)，，時(shí)，

，，

則有或，．

即或，．

又因?yàn)?/span>，故在內(nèi)的解集為．

（）解：因?yàn)?/span>，設(shè)周期．

因?yàn)楹瘮?shù)須滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值”．

因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，，

故有，

∴，，

又因?yàn)�，形�?/span>的函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心都是的零點(diǎn)，

故需滿足，而當(dāng)，時(shí)，

因?yàn)?/span>，；

所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，

的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

此時(shí)，，

∴，．

（i）當(dāng)，時(shí)，，進(jìn)一步要使處取得最小值，

則有，

∴，故，．

又，則有，，

因此，由可得，．

（ii）當(dāng)時(shí)，，進(jìn)一步要使處取得最小值，

則有；

又，則有，．

因此，由，可得，．

綜上，使得函數(shù)滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值的充要條件”是“，時(shí)，，；或當(dāng)時(shí)，，”．