Question

12．現(xiàn)有3個人去參加某娛樂活動，該活動有甲乙兩個游戲可供參加之選擇，為增加趣味項，約定：每個人通過投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自已去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲．
（1）求這4個人恰有2人去參加甲游戲的概率；
（2）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；
（3）用X、Y分別表示著4個人中取參加甲乙游戲的人數(shù)，記ξ=|X-Y|，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）依題意這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為$\frac{1}{3}$，去參加乙游戲的概率為$\frac{2}{3}$，由此能求出這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率．
（2）設(shè)“這4個人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)“為事件B，則B=A₃∪A₄，又A₃，A₄互斥，由此能求出
這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率．
（3）由題意ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）依題意這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為$\frac{1}{3}$，
去參加乙游戲的概率為$\frac{2}{3}$，
設(shè)“這4個人中恰好有i人去參加甲游戲“為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
∴這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率：
P（A₃）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$．
（2）設(shè)“這4個人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)“為事件B，
則B=A₃∪A₄，又A₃，A₄互斥，
∴P（B）=P（A₃）+P（A₄）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$+${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{9}$．
（3）由題意ξ的所有可能取值為0，2，4，
由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，
故P（ξ=0）=P（A₂）=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=2）=P（A₁）+P（A₃）=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=P（A₀+A₄）=$\frac{17}{81}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	4
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

∴E（ξ）=0×$\frac{7}{28}$+2×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，注意互斥事件的概率計算公式的合理運用．