Question

3．已知數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，且a₂=1，a₅=-5．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${c_n}=\frac{{5-{a_n}}}{2}，{b_n}={2^{c_n}}$，記數(shù)列{log₂b_n}的前n項和為T_n，求滿足T_n≥2016的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出數(shù)列的首項與公差，然后求解通項公式．
（2）求出數(shù)列的通項公式，求解數(shù)列的和，利用不等式求解n的范圍，得到結(jié)果即可．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，由已知條件有：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=-5}\\{{a}_{1}+d=1}\end{array}\right.$，…．（2分）
解得：a₁=3，d=-2…（4分）
所以，a_n=a₁+（n-1）d=-2n+5…（6分）
（2）由（1）知：${c_n}=\frac{{5-{a_n}}}{2}=n，{b_n}={2^{c_n}}={2^n}$…（8分）
所以T_n=log₂b₁+log₂b₂+…+log₂b_n=log₂2+log₂2²+…+log₂2ⁿ
=$1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$…（10分）
由T_n≥2016得n（n+1）≥4032，即n≤-64或n≥63…（12分）
所以n的最小值為63…（13分）

點評 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和以及數(shù)列與不等式的關(guān)系，考查計算能力．