Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x²+（y-2）²=1相交，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離小于半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用c²=a²+b²求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求．

解答 解：∵雙曲線漸近線為ax±by=0，與圓x²+（y-2）²=1相交，
∴圓心到漸近線的距離小于半徑，即$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＜1，
∴3b²＜a²，
∴c²=a²+b²＜$\frac{4}{3}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∵e＞1
∴1＜e＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式等．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用．