Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）和g（x）滿足f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{{f}^{′}（0）}{2}$x，且g（x）+g′（x）＜0，則下列不等式成立的是（　�。�

• A． f（2）g（2015）＜g（2017）
• B． f（2）g（2015）＞g（2017）
• C． g（2015）＜f（2）g（2017）
• D． g（2015）＞f（2）g（2017）

Answer 1

分析 先對f（x）求導(dǎo)，再令x=0，求出f（x），再求出f（2）的值，對于g（x）+g′（x）＜0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^xg（x），利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系得到h（x）單調(diào)遞減，得到h（2015）＞h（2017），即e²⁰¹⁵g（2015）＞e²⁰¹⁷g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），問題得以解決．

解答 解：∵f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{{f}^{′}（0）}{2}$x，
∴f′（x）=e^x-x+$\frac{{f}^{′}（0）}{2}$，
∴f′（0）=e⁰-0+$\frac{{f}^{′}（0）}{2}$，
∴f′（0）=2，
∴f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x，
∴f（2）=e²-$\frac{1}{2}$×4+2=e²，
∵g（x）+g′（x）＜0，
設(shè)h（x）=e^xg（x），
∴h′（x）=e^xg（x）+e^xg′（x）=e^x（g（x）+g′（x））＜0，
∴h（x）單調(diào)遞減，
∴h（2015）＞h（2017），
∴e²⁰¹⁵g（2015）＞e²⁰¹⁷g（2017），
∴g（2015）＞e²g（2017），
∴g（2015）＞f（2）g（2017），
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．