Question

3．設(shè)直線l：x-2y-m=0與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，M為橢圓C的左頂點(diǎn)，若△ABM的重心在y軸右側(cè)，則m的取值范圍是（2，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 將直線方程代入橢圓方程，根據(jù)判別式△＞0，求得m的取值范圍，根據(jù)韋達(dá)定理y₁+y₂=-$\frac{m}{2}$，△ABM的重心在y軸右側(cè)，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{3}$＞0，代入即可求得m的取值范圍．

解答 解：將直線代入橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2y+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
整理得：8y²+4my+m²-4=0，
由△=16m²-4×8×（m²-4）=-16m²+4×8×4＞0，
解得：m²＜8，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{m}{2}$，
△ABM的重心在y軸右側(cè)，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{3}$＞0，
∴x₁+x₂＞2，
∴2（y₁+y₂）+2m＞2，
-m+2m＞2，
解得：m＞2，
∴m的取值范圍是（2，2$\sqrt{2}$），
故答案為：（2，2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．