Question

20．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作一條直線，當直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（　�。�

• A． $（{1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2}）$
• C． $（1，\sqrt{3}）$
• D． （1，2）

Answer 1

分析 當直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點，可得$\frac{a}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再利用離心率的計算公式即可得出e＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；再由當直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則$\frac{a}$＜$\sqrt{3}$，求得e＜2，進而得到所求范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由當直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點，可得$\frac{a}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即b²＞$\frac{1}{3}$a²，c²＞$\frac{4}{3}$a²，
可得e＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
又當直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則$\frac{a}$＜$\sqrt{3}$，即b²＜3a²，c²＜4a²，
可得e＜2．
綜上可得，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜e＜2．
故選：B．

點評 本題考查離心率的范圍，注意運用漸近線的斜率與直線的斜率的關系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．