Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）= ．
（Ⅰ）記F（x）=f（x）﹣g（x），判斷F（x）在區(qū)間（1，2）內零點個數(shù)并說明理由；
（Ⅱ）記（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）內的零點為x0 ， m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有兩個不等實根x1 ， x2（x1＜x2），判斷x1+x2與2x0的大小，并給出對應的證明．

Answer 1

【答案】解：由題意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣ ．定義域為（0，+∞）
F′（x）=1+lnx+ ，由題設x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)．（1，2）是單調增區(qū)間．那么：F（1）=ln1﹣ = ＜0，F(xiàn)（2）=2ln2﹣ ＞0，并且F（x）在（1，2）上連續(xù)的，故根據(jù)零點定理，有F（x）在區(qū)間（1，2）有且僅有唯一實根，即一個零點．
（Ⅱ）記（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）內的零點為x0 ， 由f（x）=xlnx，當0＜x≤1時，f（x）≤0，而g（x）= ＞0，故f（x）＜g（x）；
由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+ ，當x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，存在零點x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0時，f（x）＜g（x）；當x＞x0時，f（x）＞g（x）；
而此得到m（x）= ，
顯然：當1＜x＜x0時，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是單增函數(shù)．
當x＞x0時，m′（x）= 恒小于0，m（x）是單減函數(shù)．
m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有兩個不等實根x1 ， x2（x1＜x2），則x1∈（1，x0），x2∈（x0 ， +∞），
顯然：當x2→+∞時，x1+x2＞2x0 ．
要證明x1+x2＞2x0 ， 即可證明x2＞2x0﹣x1＞x0 ， 而m（x）在x＞x0時是單減函數(shù)．故證m（x2）＜m（2x0﹣x1）．
又由m（x1）=m（x2），即可證：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜ ，（構造思想）
令h（x）=xlnx﹣ ，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，
那么：h′（x）=1+lnx+ ﹣ ，
記φ（t）= ，則φ′（t）= ，當t∈（0，1）時，φ′（t）＞0；當t＞1時，φ′（t）＜0；故φ（t）max= ；
而φ（t）＞0；故 ＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，從而有： ＜0；
因此：h′（x）=1+lnx+ ﹣ ＞0，即h（x）單增，從而1＜x＜x0時，h（x）＜h（x0）=0．
即x1lnx1＜ 成立．
故得：x1+x2＞2x0 ．
【解析】（Ⅰ）對F（x）求導，利用x∈（1，2）判定導函數(shù)的符號，進而得到函數(shù)的單調性，在利用零點存在定理進行證明．（Ⅱ）先由x的范圍討論f（x），g（x）的大小，確定之間的關系式m（x），在判斷x1+x2與2x0的大小，可以利用分析法對其進行證明．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導數(shù)和函數(shù)的零點與方程根的關系的相關知識點，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點才能正確解答此題．