Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為2，一個焦點坐標為F₂（

2 3

3

，0），直線l：y=ax+1與雙曲線交于A、B兩點．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若以AB為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)a的值；
（3）是否存在這樣的實數(shù)a，使A、B兩點關(guān)于直線y=

1

2

x對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）c=

2 3

3

，

c

a

=2，可得a=

3

3

，求出b，即可求雙曲線的標準方程；
（2）把直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得a的范圍，根據(jù)OA⊥OB，推斷出y₁y₂=-x₁x₂．根據(jù)韋達定理表示出x₁x₂．進而根據(jù)直線方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．
（2）假設(shè)這樣的點A，B存在，進而可知直線l的斜率，可得AB的中點，不在直線y=

1

2

x上，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意得c=

2 3

3

，

c

a

=2，∴a=

3

3

          …（1分）
∴b=1                                 …（2分）
∴雙曲線的標準方程為

x2

1 3

-y2=1．…（3分）
（2）聯(lián)立方程ax+1=y與3x²-y²=1，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0（*）
又直線與雙曲線相交于A，B兩點，3-a²≠0，∴a≠±

3

，∴△＞0，∴-

6

＜a＜

6

．
又依題OA⊥OB，令A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則y₁y₂=-x₁x₂．
且y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=-x₁x₂⇒x₁x₂（1+a²）+a（x₁+x₂）+1=0，
而由方程（*）知：x₁+x₂=

2a

3-a2

，x₁x₂=

2

a2-3

代入上式解得a=±1且滿足．…（10分）
（3）假設(shè)這樣的點A，B存在，則l：y=ax+1斜率a=-2．                            …（11分）
直線l的方程為y=-2x+1，將a=-2代入③得x₁+x₂=4．
∴AB中點橫坐標為2，縱坐標為y=-3，…（12分）
但AB中點（2，-3）不在直線y=

1

2

x上，矛盾            …（13分）
即不存在實數(shù)a，使A、B關(guān)于直線y=

1

2

x對稱．…（14分）

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系．考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力．