Question

若在拋物線2y=x²上存在兩個不同的點M、N關(guān)于直線y=kx+3對稱，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線y=-

x

k

+m與2y=x²交點為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），中點為P（x₀，y₀）“點差法”求出

y1-y2

x1-x2

，代直線求出x₀，此直線與拋物線有兩個交點，計算判別式推出k與m的不等式，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：設(shè)直線y=-

x

k

+m與2y=x²交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點為P（x₀，y₀），
x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
∴

2y1=x12 2y2=x22

，
兩式相減，得2（y₁-y₂）=（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2x₀（x₁-x₂），
∴-

1

k

=

y1-y2

x1-x2

=x₀，代入直線y=-

x

k

+m求出y₀=

1

k2

+m，
此直線與拋物線有兩個交點，y=-

x

k

+m與2y=x²，聯(lián)立可得x²+

2

k

x-2m=0，由判別式得

1

k2

+2m＞0，
P點應(yīng)在y=kx+3上，代入整理得，

1

k2

+m=2，即m=2-

1

k2

．
代入由判別式得出的式子中整理

1

k2

+2(2-

1

k2

)＞0，
解得k∈（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．
故答案為：（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意點差法的合理運用．