Question

為選拔選手參加“中國謎語大會”，某中學(xué)舉行了一次“謎語大賽”活動．為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．

（Ⅰ）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生參加“中國謎語大會”，設(shè)隨機(jī)變量X表示所抽取的3名學(xué)生中得分在（80，90]．內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由樣本容量和頻數(shù)頻率的關(guān)系能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值．
（Ⅱ）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90）的人數(shù)X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知，
樣本容量n=

8

0.016×10

=50，
y=

2

50×10

=0.004，
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．
（Ⅱ）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，
分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，共7人．
抽取的3名學(xué)生中得分在[80，90）的人數(shù)X的可能取值為1，2，3
P（X=1）=

C 1 5 C 2 2

C 3 7

=

1

7

，
P（X=2）=

C 2 5 C 1 2

C 3 7

=

4

7

，
P（X=3）=

C 3 5 C 0 2

C 3 7

=

2

7

，
所以X的分布列為：

X	1	2	3
P	1 7	4 7	2 7

所以EX=1×

2

7

+2×

4

7

+3×

2

7

=

15

7

．

點評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題．