Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項a₁=2，公差為d（d≠0）且a₁，a₃，a₁₁成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列={a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）a₁=2，設(shè)公差為d，由a₁，a₃，a₁₁成等比數(shù)列．
得（2+2d）²=2×（2+10d），
解得d=0（舍去）或d=3，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3n-1．
（Ⅱ）由（I）可得：bn=

3n-1

2n

，
Tn=

2

21

+

5

22

+

8

23

+…+

3n-4

2n-1

+

3n-1

2n

?，

1

2

Tn=

2

22

+

5

23

+…+

3n-4

2n

+

3n-1

2n+1

，
∴

1

2

Tn=1+

3

22

+

3

23

+…+

3

2n

-

3n-1

2n+1

=1+3×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n+1

=1+

3

2

-

5+3n

2n+1

，
∴T_n=5-

5+3n

2n

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．