Question

8．已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=2，a=3，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b²+c²的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角和的余弦公式、二倍角公式及輔助角公式將f（x）化簡為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）f（A）=2，根據(jù)A的取值范圍求得A的值，由三角形面積公式即可求得bc的值，利用余弦定理即可求得b²+c²的值．

解答 解：（1）f（x）=4sinx（cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$）+1，
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x+1，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），…（4分）
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；…（6分）
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1．…（7分）
又∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{6}$．…（8分）
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，
∴bc=4$\sqrt{3}$．…（9分）
由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccosA，
∴9=b²+c²-12，
∴b²+c²=21．…（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的恒等變換、三角形面積公式、余弦定理以及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理及公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．