Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=k•3ⁿ-m，且a₁=3，a₃=27．
（I）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（II）若a_nb_n=log₃a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的定義即可證明．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵${S_n}=k•{3^n}-m$，∴S₁=a₁=3k-m=3，a₃=S₃-S₂=18k=27，解得$k=m=\frac{3}{2}$．
則當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{3}{2}•{3^n}-\frac{3}{2}•{3^{n-1}}={3^n}$，
又a₁=3，∴?n∈N^*，${a_n}={3^n}$．
則$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=3$為常數(shù)，故由等比數(shù)列的定義可知，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（II）解：∵a_nb_n=log₃a_n+1，∴${b_n}=\frac{n+1}{3^n}$．
則${{T}_n}=\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+…+\frac{n}{{{3^{n-1}}}}+\frac{n+1}{3^n}$，
∴$\frac{1}{3}{{T}_n}=\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+…+\frac{n}{3^n}+\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}$，
則$\frac{2}{3}{{T}_n}=\frac{2}{3}+（{\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}}）-\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}=\frac{5}{6}-\frac{2n+5}{{2•{3^{n+1}}}}$，
即${{T}_n}=\frac{1}{4}（{5-\frac{2n+5}{3^n}}）$（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系與等比數(shù)列的定義、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．