【題目】已知函數(shù)，且上的最大值為．

求函數(shù)的解析式；

判斷在內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)，并加以證明．

【答案】(1) (2) 函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)

【解析】

(1)函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出即可．

(2)，求出導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點(diǎn)，通過當(dāng)時，當(dāng)時，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可。

(1)因為，所以，，所以

由題意，在上恒成立，且能取到等號

即在上恒成立，且能取到等號，即

令，則

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，解得，

所以。

(2)因為

當(dāng)時，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增

因為，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)

當(dāng)時，令

因為，所以函數(shù)即當(dāng)時單調(diào)遞減

又因為，所以存在唯一使

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

注意到，，所以

所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)，

由得函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當(dāng)時，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，分別是圖象的最高點(diǎn)與相鄰的最低點(diǎn)，且，，為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)將函數(shù)的圖象向左平移1個單位后得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的值域.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為4，且有一個零點(diǎn)為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若，且，求的值；

（3）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有邊長分別3，4，5的三角形兩個，邊長分別4，5，的三角形四個，邊長分別為，4，5的三角形六個.用上述三角形為面，可以拼成______個四面體.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某手機(jī)生產(chǎn)企業(yè)為了解消費(fèi)者對某款手機(jī)的認(rèn)同情況，通過銷售部隨機(jī)抽取50名購買該款手機(jī)的消費(fèi)者，并發(fā)出問卷調(diào)查(滿分50分），該問卷只有20份給予回復(fù)，這20份的評分如下：

男

47,36,28,48,48,44,50,46,50,37,35,49

女

38,37,50,36,38,45,29,39

（1）完成下面的莖葉圖，并求12名男消費(fèi)者評分的中位數(shù)與8名女消費(fèi)者評分的眾數(shù)及平均值；

男

女

2

3

4

5

滿意

不滿意

合計

男

女

合計

（2）若大于40分為“滿意”，否則為“不滿意”，完成上面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為消費(fèi)者對該款手機(jī)的“滿意度”與性別有關(guān)；

（3）若從回復(fù)的20名消費(fèi)者中按性別用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步調(diào)查，求至少有1名女性消費(fèi)者被抽到的概率．

附：

0.05

0.025

0.01

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出以下關(guān)于線性方程組解的個數(shù)的命題．

①，②，③，④，

（1）方程組①可能有無窮多組解；

（2）方程組②可能有且只有兩組不同的解；

（3）方程組③可能有且只有唯一一組解；

（4）方程組④可能有且只有唯一一組解．

其中真命題的序號為________________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列中，已知，對于任意的，有.

（1）求數(shù)列的通項公式.

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.

（3）設(shè)，是否存在實數(shù)，當(dāng)時，恒成立？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓心C在直線上的圓過兩點(diǎn)，.

（1）求圓C的方程；

（2）若直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，①當(dāng)時，求AB的方程；②在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使，若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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