Question

【題目】已知函數(shù) ；
（1）若函數(shù) 在 上為增函數(shù)，求正實數(shù) 的取值范圍；
（2）當 時，求函數(shù) 在 上的最值；
（3）當 時，對大于1的任意正整數(shù) ，試比較 與 的大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，所以

因為函數(shù) 在 上為增函數(shù)，所以 對 恒成立，

所以 對 恒成立，即 對 恒成立，所以

（2）解：當 時， ，所以當 時， ，故 在 上單調(diào)遞減；當 ， ，故 在 上單調(diào)遞增，所以 在區(qū)間 上有唯一極小值點，故 ，又 ， ，，

因為 ，所以 ，即

所以 在區(qū)間 上的最大值是

綜上可知，函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值是 ，最小值是0

（3）解：當 時， ， ，故 在 上為增函數(shù).

當 時，令 ，則 ，故

所以 ，即 >

當a=1時，對大于1的任意正整數(shù) ，有 >

【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合已知條件求出原函數(shù)的導函數(shù)利用導函數(shù)在指定區(qū)間上的正負情況得出原函數(shù)的增減性即可。(2)把a的值代入求出原函數(shù)的導函數(shù)并判斷出其正負得到原函數(shù)的單調(diào)性，進而求出 f ( x ) 在區(qū)間 [ , 2 ) 上有唯一極小值點，代入數(shù)值求出結(jié)果即可得到最大值。(3)求出函數(shù)的導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，令x=得到 f ( x ) > f ( 1 ) = 0，從而證出結(jié)論。