Question

設(shè)某旅游景點(diǎn)每天的固定成本為500元，門票每張為30元，變動成本與購票進(jìn)入旅游景點(diǎn)的人數(shù)的算術(shù)平方根成正比．一天購票人數(shù)為25時，該旅游景點(diǎn)收支平衡；一天購票人數(shù)超過100時，該旅游景點(diǎn)須另交保險費(fèi)200元．設(shè)每天的購票人數(shù)為x，盈利額為y．
（Ⅰ）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）試用程序框圖描述算法（要求：輸入購票人數(shù)，輸出盈利額）；
（Ⅲ）該旅游景點(diǎn)希望在人數(shù)達(dá)到20人時即不出現(xiàn)虧損，若用提高門票價格的措施，則每張門票至少要多少元（取整數(shù)）？注：可選用數(shù)據(jù)：

2

=1.41，

3

=1.73，

5

=2.24．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,綜合題,數(shù)學(xué)模型法,算法和程序框圖

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)出可變成本的解析式，用門票收入減去固定成本與可變成本，即得所求的y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，采用選擇結(jié)構(gòu)的框圖；
（Ⅲ）設(shè)每張門票至少需要a元，代入不超過100人時的解析式，令其大于0，解出參數(shù)a的取值范圍，得出其最小值．

解答： 解：（Ⅰ）依題意可設(shè)變動成本y₁=k

x

，當(dāng)x=25時，有30×25-500-5k=0
解得，k=50，故y=30x-500-50

x

（0＜x≤100，x∈N）
當(dāng)x＞100時，y=30x-500-50

x

-200=30x-50

x

-700，
∴y=

30x-50 x -500，0＜x≤100，x∈N 30x-50 x -700，x＞100，x∈N

．
（Ⅱ）如圖表示：輸入購票人數(shù)x，輸出盈利額y的程序框圖．

（Ⅲ）設(shè)每張門票至少需要a元，則
20a-50

20

-500≥0，即20a≥100

5

+500，
即a≥5

5

+25=5×2.24+25=36.2，
又a取整數(shù)，故取a=37．
答：每張門票至少需要37元．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的模型是解決實(shí)際問題的變化關(guān)系常用的方法，其步驟是，建立函數(shù)模型，求解函數(shù)，得出結(jié)論，再反饋回實(shí)際問題中去．同時考查算法和程序框圖，屬于中檔題．