Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），點P（3，

7

）在雙曲線C上．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過雙曲線C的右焦點的直線l交雙曲線于A，B兩點，且|AB|=4

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

a2+b2=22 9 a2 - 7 b2 =1

，由此能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=k(x-2) x2 2 - y2 2 =1

，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，由此利用橢圓弦長公式能求出直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點為
F₁（-2，0）、F₂（2，0），點P（3，

7

）在雙曲線C上，
∴

a2+b2=22 9 a2 - 7 b2 =1

，
解得a=

2

，b=

2

，
∴雙曲線C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=k(x-2) x2 2 - y2 2 =1

，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，
x1+x2=

-4k2

1-k2

，x1x2=

-4k2-2

1-k2

，
|AB|=

1+k2

( -4k2 1-k2 )2-4• -4k2-2 1-k2

=4

2

，
解得k=±

3

或k=±

3

3

，
∴直線AB的方程為y=±

3

(x-2)或y=±

3

3

(x-2)．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．