Question

11．設(shè)圓C的半徑為1，圓心C在直線3x-y=0上
（Ⅰ）直線x-y+3=0被圓C截得弦長$\sqrt{2}$，求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（0，3），若圓C上總存在兩個不同的點(diǎn)到A的距離為2，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若圓C被直線x-y+3=0截得的弦長為$\sqrt{2}$，利用勾股定理，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由題意，問題等價于圓A和圓C相交時，求圓心C橫坐標(biāo)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閳A心C在直線3x-y=0上，所以設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，3a），
因?yàn)閳AC的半徑為1，圓C被直線x-y+3=0截得的弦長為$\sqrt{2}$，
所以圓心C到直線x-y+3=0的距離d=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又d=$\frac{|a-3a+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2a-3|}{\sqrt{2}}$，所以$\frac{|2a-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=1或a=2，所以圓心C的坐標(biāo)為（1，3）或（2，6）．
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-3）²=1或（x-2）²+（y-6）²=1．（6分）
（Ⅱ）設(shè)圓A：x²+（y-3）²=4，由（Ⅰ）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，3a）．
由題意，問題等價于圓A和圓C相交時，求圓心C橫坐標(biāo)a的取值范圍，即1＜$\sqrt{{a}^{2}+（3a-3）^{2}}$＜3，
由$\sqrt{{a}^{2}+（3a-3）^{2}}$＞1整理得5a²-9a+4＞0，解得a＜$\frac{4}{5}$或a＞1；
由$\sqrt{{a}^{2}+（3a-3）^{2}}$＜3整理得5a²-9a＜0，解得0＜a＜$\frac{9}{5}$．
所以0＜a＜$\frac{4}{5}$或1＜a＜$\frac{9}{5}$．（6分）

點(diǎn)評 本題考查圓的方程的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．