Question

已知函數f（x）=2asinωxcosωx+2

3

cos2ωx-

3

（a＞0，ω＞0）的最大值為2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意兩個元素，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（1）求a，ω的值；
（2）求函數y=f（x）在x∈（0，π） 上的所有零點．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由題意知：f(x)的周期為π，由

2π

2ω

=π，知ω=1．由f（x）最大值為2，故

a2+3

=2，又a＞0，從而解得a=1．
（2）由f（x）=0，即有2sin（2x+

π

3

）=0，可解得 2x+

π

3

=kπ，x∈（0，π），（k∈z），從而解得X=

π

3

或

5π

6

．

解答： （12分）解：（1）由題意知：f(x)的周期為π，由

2π

2ω

=π，知ω=1．     …（2分）
由f（x）最大值為2，
故

a2+3

=2，
又a＞0，
∴a=1…（4分）
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)…（6分）
（2）∵由f（x）=0，
∴2sin（2x+

π

3

）=0    
∴2x+

π

3

=kπ，x∈（0，π）  （k∈z）
∴X=

π

3

或

5π

6

   …（12分）

點評：本題主要考查了正弦函數的圖象，三角函數中的恒等變換應用，屬于基本知識的考查．