Question

1．如圖所示，已知點(diǎn)S（0，3），SA，SB與圓C：x²+y²-my=0（m＞0）和拋物線x²=-2py（p＞0）都相切，切點(diǎn)分別為M，N和A，B，SA∥ON，則點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為（　�。�

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)切線的性質(zhì)可得△SMN是等邊三角形，故切線SA的斜率為$\sqrt{3}$，利用斜率公式及切線的幾何意義列方程即可解出A點(diǎn)坐標(biāo)和p，從而得出答案．

解答 解：∵SM，SN是圓C的切線，SA∥ON，∴SM=SN，SN∥OM．
∴四邊形SMON是菱形，又∠SMN=∠MON，
∴△SMN是等邊三角形．
設(shè)A（x₀，y₀），由x²=-2py得y=$\frac{{x}^{2}}{-2p}$，∴y′_A=-$\frac{{x}_{0}}{p}$=$\sqrt{3}$．
又$\frac{{y}_{0}-3}{{x}_{0}}$=$\sqrt{3}$，x₀²=-2py₀，
∴y₀=-3，p=2．
∴點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離d=-y₀+$\frac{p}{2}$=4．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)與幾何意義，屬于中檔題．