Question

4．求證：當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大．

Answer 1

分析 設(shè)出周長(zhǎng)，求出圓的面積，正方形的面積，利用分析法證明即可．

解答 證明：（分析法）設(shè)圓和正方形的周長(zhǎng)為l，…1分
依題意，圓的面積為$π•{（{\frac{l}{2π}}）^2}$，…3分
正方形的面積為${（{\frac{l}{4}}）^2}$．…5分
因此本題只需證明$π{（{\frac{l}{2π}}）^2}＞{（{\frac{l}{4}}）^2}$．…7分
要證明上式，只需證明$\frac{{π{l^2}}}{{4{π^2}}}＞\frac{l^2}{16}$，兩邊同乘以正數(shù)$\frac{4}{l^2}$，得$\frac{1}{π}＞\frac{1}{4}$．
因此，只需證明$4＞\pi$，上式是成立的，
所以$π{（{\frac{l}{2π}}）^2}＞{（{\frac{l}{4}}）^2}$．…11分
這就證明了如果一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等，那么圓的面積比正方形的面積大．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查分析法證明命題的真假，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．