Question

9．已知函數(shù)f（x）=cosx，x∈[0，2π]有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁、x₂，且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)根x₃、x₄，若把這四個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)m的值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由條件利用余弦函數(shù)的圖象求得x₁、x₂，再根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)求得x₃、x₄，從而求得m=sinx₃的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=cosx，x∈[0，2π]有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁、x₂，
∴x₁ =$\frac{π}{2}$，x₂=$\frac{3π}{2}$．
∵方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)根x₃、x₄，把這四個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，
∴x₁+x₂ =x₃ +x₄ =2π，故x₁、x₂ 關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)，x₃、x₄ 關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)．
故x₁、x₂ 是等差數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)，x₃、x₄ 分別是第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，
∴$\frac{3π}{2}$=$\frac{π}{2}$+3d，∴d=$\frac{π}{3}$，
∴x₃=x₁+d=$\frac{5π}{6}$，x₄=x₁+2d=$\frac{7π}{6}$，∴m=cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．