Question

某中學在高一開設(shè)了數(shù)學史等4門不同的選修課，每個學生必須選修，且只能從中選一門．該校高一的3名學生甲、乙、丙對這4門不同的選修課的興趣相同．
（Ⅰ）求3個學生選擇了3門不同的選修課的概率；
（Ⅱ）求恰有2門選修課這3個學生都沒有選擇的概率；
（Ⅲ）設(shè)隨機變量ξ為甲、乙、丙這三個學生選修數(shù)學史這門課的人數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)分步計數(shù)原理總事件數(shù)是4³，
滿足條件的事件數(shù)是A₄³，
∴3個學生選擇了3門不同的選修課的概率：P₁==
（Ⅱ）恰有2門選修課這3個學生都沒有選擇的概率：P2==
（Ⅲ）設(shè)某一選擇修課這3個學生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3．
P（ξ=0）==；
P（ξ=1）==；
P（ξ=2）==；
P（ξ=3）==．
∴ξ的分布列為：

∴期望Eξ=0×+1×=．
分析：（1）這是一個古典概型問題，根據(jù)分步計數(shù)原理總事件數(shù)是4³，滿足條件的事件數(shù)是A₄³，代入古典概型公式得到結(jié)果．
（2）本題的總是件數(shù)同前面，滿足條件的事件數(shù)是C₄²C₃²A₂²，代入公式得到結(jié)果．
（3）某一選擇修課這3個學生選擇的人數(shù)為0，1，2，3，類似于前面所說，求出各種不同情況下對應(yīng)的概率，寫出分布列，算出期望．
點評：本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．