Question

6．已知f（x）=e^x-ax²，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，e^x+（1-e）x-xlnx-1≥0．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）在[0，1]遞增，從而求出f（x）的最大值；
（3）只需證明x＞0時(shí)，f（x）≥（e-2）x+1，設(shè)g（x）=f（x）-（e-2）x-1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到e^x+（2-e）x-1≥xlnx+x，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2ax，
∴f′（1）=e-2a=b，f（1）=e-a=b+1，
解得：a=1，b=e-2；
（2）由（1）得：f（x）=e^x-x²，
f′（x）=e^x-2x，f″（x）=e^x-2，
∴f′（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，
∴f′（x）≥f′（ln2）=2-2ln2＞0，
∴f（x）在[0，1]遞增，
∴f（x）_max=f（1）=e-1；
（3）∵f（0）=1，由（2）得f（x）過（1，e-1），
且y=f（x）在x=1處的切線方程是y=（e-2）x+1，
故可猜測x＞0，x≠1時(shí)，f（x）的圖象恒在切線y=（e-2）x+1的上方，
下面證明x＞0時(shí)，f（x）≥（e-2）x+1，
設(shè)g（x）=f（x）-（e-2）x-1，x＞0，
g′（x）=e^x-2x-（e-2），g″（x）=e^x-2，
由（2）得：g′（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，
∵g′（0）=3-e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，
∴g′（ln2）＜0，
∴存在x₀∈（0，1），使得g′（x）=0，
∴x∈（0，x₀）∪（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
x∈（x₀，1）時(shí)，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，x₀）遞增，在（x₀，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”，
故$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x，x＞0，
由（2）得：e^x≥x+1，故x≥ln（x+1），
∴x-1≥lnx，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”，
∴$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x≥lnx+1，
即$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥lnx+1，
∴e^x+（2-e）x-1≥xlnx+x，
即e^x+（1-e）x-xlnx-1≥0成立，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．