Question

6．已知△ABC的頂點A（-3，0）和頂點B（3，0），頂點C在橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，則$\frac{5sinC}{sinA+sinB}$=3．

Answer 1

分析 由題意可知：頂點A，B為橢圓的兩個焦點，利用正弦定理及橢圓的定義，求得a和b的關系，即可求得$\frac{5sinC}{sinA+sinB}$=3．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，長軸長2a=10，短軸長2b=8，焦距2c=6，
則頂點A，B為橢圓的兩個焦點，
三角形ABC中，a=丨BC丨，b=丨AC丨，c=丨AB丨=6，a+b=丨BC丨+丨AC丨=10，
由正弦定理可知$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
則sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
$\frac{5sinC}{sinA+sinB}$=$\frac{5c}{a+b}$=$\frac{5×6}{10}$=3，
故答案為：3．

點評 本題考查橢圓的定義及正弦定理的應用，考查數形結合思想，考查計算能力，屬于中檔題．