Question

已知f（x）=xlnx
（1）求g（x）=

f(x)+k

x

（k∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x≥1時(shí)，2x-e≤f（x）恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得g′(x)=

1

x

-

k

x2

=

1

x2

（x-k），由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)F（x）=f（x）-2x+e=xlnx-2x+e，則F′（x）=lnx-1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x≥1時(shí)，2x-e≤f（x）恒成立．

解答： （1）解：∵f（x）=xlnx，
∴g（x）=

f(x)+k

x

=

xlnx+k

x

=lnx+

k

x

，x＞0，
∴g′(x)=

1

x

-

k

x2

=

1

x2

（x-k），
∴當(dāng)k≤0時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)k＞0時(shí)，g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，k]，單調(diào)增區(qū)間為（k，+∞）．
（2）證明：設(shè)F（x）=f（x）-2x+e=xlnx-2x+e，
則F′（x）=lnx-1，
∵x≥1，
∴x＞e時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，1≤x＜e時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
∴x=e時(shí)，F(xiàn)（x）取最小值F（e）=e-2e+e=0，
∴F（x）=f（x）-2x+e≥0，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，2x-e≤f（x）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．