Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且（2a+b）cosC+ccosB=0．
（2）求∠C；
（2）若a、b、c成等差數(shù)列，b=5，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,等差數(shù)列的通項公式

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，根據(jù)sinA不為0，求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關系式，再利用完全平方公式變形后，將c=10-a，b=5，cosC的值代入求出ab的值，再利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡得：sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosC，
即sin（B+C）=-2sinAcosC，
變形得：sinA=-2sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴cosC=-

1

2

，
則∠C=120°；
（2）∵b=5，a+c=10，cosC=-

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=（10-a）²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=（a+5）²-5a，可解得a=3．
故得：ab=15，
則S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×15×

3

2

=

15 3

4

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．