Question

6．在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足cos²A-cos²B=cos（$\frac{π}{6}$-A）cos（$\frac{π}{6}$+A）
（1）求角B的值      
（2）若b=1，求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡可求得cos²B 的值，進(jìn)而可得cosB的值，從而求得B的值．
（2）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c關(guān)于A的三角函數(shù)，根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)得出a+c的最值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵在銳角三角形ABC中，cos²A-cos²B=cos（$\frac{π}{6}$-A）cos（$\frac{π}{6}$+A），
∴cos²A-cos²B=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA）=$\frac{3}{4}$cos²A-$\frac{1}{4}$sin²A，可得：$\frac{1}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$cos²A=$\frac{1}{4}$=cos²B，
∴B為銳角，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{sin\frac{π}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）．
∴a+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$．
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1．
∴1＜2sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2．
∴a+c的取值范圍是（1，2]．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．