Question

7．已知函數f（x）=xlnx-ax²+$\frac{1}{2}$．
（I） 當a=$\frac{1}{2}$時，判斷f（x）在其定義上的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個極值點x₁，x₂，其中x₁＜x₂．求證：
（i）f（x₂）＞0；
（ii）x₁+x₂＞$\frac{1}{a}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數，得到導函數的單調性，求出f′（x）_max=f′（1）=0，從而求出函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）（i）函數f'（x）=lnx+1-2ax，x＞0有兩個零點x₁，x₂，討論a＞0，a≤0，再求導數，得到f′（$\frac{1}{2a}$）＞0，從而0＜a＜$\frac{1}{2}$，再討論f（x）的單調性，即可得證；（ii）得到ln（x₁x₂）+2=$\frac{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$•ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，問題轉化為證明lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$＜0在（0，1）恒成立，根據函數的單調性證明即可．

解答 （Ⅰ）解：函數f（x）的定義域是（0，+∞），
a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，f′（x）=lnx+1-x，f″（x）=$\frac{1-x}{x}$，
當0＜x＜1時，f″（x）＞0，當x＞1時，f″（x）＜0，
∴f′（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f′（x）_max=f′（1）=0，
∴f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：（i）∵f′（x）=lnx+1-2ax，
∴由函數f（x）有兩個極值點x₁，x₂
得函數f′（x）=lnx+1-2ax，x＞0有兩個零點x₁，x₂
∵f″（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$，
當a≤0時，有f″（x）＞0此時f′（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增，
∴不符合，
∴a＞0此時x∈（0，$\frac{1}{2a}$）時，f″（x）＞0，x∈（$\frac{1}{2a}$，+∞）時，f″（x）＜0
∴f′（x）在x∈（0，$\frac{1}{2a}$）上單調遞增，在x∈（$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調遞減
又f′（x）有兩個零點x₁，x₂，
∴f′（$\frac{1}{2a}$）＞0，∴l(xiāng)n$\frac{1}{2a}$＞0，∴$\frac{1}{2a}$＞1，∴0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∴當x∈（0，x₁）時，f′（x）＜0，當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，
當x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＜0
∴f（x）在x∈（0，x₁）上單調遞減，在x∈（x₁，x₂）上單調遞增，
在x∈（x₂，+∞）上單調遞減
又f′（1）=1-2a＞0，∴1∈（x₁，x₂）
∴f（x2）＞f（1）=-a+$\frac{1}{2}$＞0；
（ii）由（i）得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
且lnx₁+1=2ax₁，lnx₂+1=2ax₂，
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂+2=2a（x₁+x₂），
lnx₁-lnx₂=2a（x₁-x₂），
∴l(xiāng)n（x₁x₂）+2=$\frac{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}$•ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，則0＜t＜1，且lnx₁x₂+2=$\frac{t+1}{t-1}$•lnt…①，
而lnx₁+lnx₂+2=2a（x₁+x₂）…②，
由①②，可得x₁+x₂＞$\frac{1}{a}$?2a（x₁+x₂）＞2
?lnx₁+lnx₂+2＞2?$\frac{t+1}{t-1}$•lnt＞2
?lnt＜$\frac{2（t-1）}{t+1}$?lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$＜0，
下面證明：當t∈（0，1）時，lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$＜0，
令h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，h′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
∴h（t）在（0，1）遞增，h（t）＜h（1）=0，
∴l(xiāng)nt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$＜0，
∴x₁+x₂＞$\frac{1}{a}$．

點評 題考查導數的綜合運用：求切線方程，求單調區(qū)間、求極值，考查不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，以及構造函數的能力，運算求解的能力．