Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²+1的定義域為R，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=1，曲線y=f（x）在x=0處的切線為直線l，求直線l與函數(shù)g（x）=f′（x）+2x及直線x=0、x=1圍成的封閉區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f'（x）=e^x-2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，求得最小值，即可得到所求范圍；
（2）求得a=1時，f（x）的導(dǎo)數(shù)，切線的斜率和方程，運用定積分法可得所圍成圖形的面積為${∫}_{0}^{1}$[（x+2）-g（x）]dx，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-ax²+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-2ax，
由題意可得f'（x）=e^x-2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
即$2a≤\frac{e^x}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)$h（x）=\frac{e^x}{x}$，則$h'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}$，
由$h'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}=0$得x=1，
當x∈（0，1）時h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當x∈（1，+∞）時h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
則h（x）最小值為h（1）=e，
從而$a≤\frac{e}{2}$，即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{e}{2}$]；
（2）a=1時，f（x）=e^x-x²+1的導(dǎo)數(shù)f'（x）=e^x-2x，
f'（0）=1，f（0）=2，
因而切線l方程為y=x+2，g（x）=f'（x）+2x=e^x，
g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（1）=e＜3，
從而所求封閉圖形面積為${∫}_{0}^{1}$[（x+2）-g（x）]dx
=${∫}_{0}^{1}$（x+2-e^x）dx=（$\frac{1}{2}$x²+2x-e^x）|${\;}_{0}^{1}$=（$\frac{1}{2}$+2-e）-（0-1）=$\frac{7}{2}$-e．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)性，極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，以及封閉圖形的面積的求法：定積分法，考查運算能力，屬于中檔題．