11.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(a-\frac{1}{2})x,x≥2}\\{{a}^{x}-4,x<2}\end{array}\right.$滿足對任意的實(shí)數(shù)x1≠x2,都有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$>0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( 。
A.(1,2]B.($\frac{13}{4}$,2]C.(1,3]D.($\frac{13}{4}$,3]

分析 對任意的實(shí)數(shù)x1≠x2,都有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$>0成立,則函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(a-\frac{1}{2})x,x≥2}\\{{a}^{x}-4,x<2}\end{array}\right.$為增函數(shù),故$\left\{\begin{array}{l}a-\frac{1}{2}>0\\ a>1\\{a}^{2}-4≤2(a-\frac{1}{2})\end{array}\right.$.解得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解:若對任意的實(shí)數(shù)x1≠x2,都有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$>0成立,
則函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(a-\frac{1}{2})x,x≥2}\\{{a}^{x}-4,x<2}\end{array}\right.$為增函數(shù),
則$\left\{\begin{array}{l}a-\frac{1}{2}>0\\ a>1\\{a}^{2}-4≤2(a-\frac{1}{2})\end{array}\right.$.
解得:a∈(1,3],
故選:C

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用,分段函數(shù)的單調(diào)性,難度中檔.

練習(xí)冊系列答案
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20.幾何體三視圖如圖,其中俯視圖為正三角形,正(主)視圖與側(cè)(左)視圖為矩形,則這個(gè)幾何體的體積為( 。
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