Question

13．已知直線l過直線x+y-1=0和2x-y+4=0的交點(diǎn)，
（1）若l與直線x+2y-1=0平行，求直線l的方程；
（2）若l與圓x²-4x+y²-21=0相交弦長為2$\sqrt{21}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線x+y-1=0和2x-y+4=0的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用l與直線x+2y-1=0平行，求直線l的方程；
（2）若l與圓x²-4x+y²-21=0相交弦長為2$\sqrt{21}$，分類討論，利用勾股定理，求出弦長，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）直線x+y-1=0和2x-y+4=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），若l與直線x+2y-1=0平行，則k_l=-$\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為x+2y-3=0．
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-2=k（x+1）即kx-y+2+k=0，
∵圓x²-4x+y²-21=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程（x-2）+y²=25
其圓心A（2，0），半徑r=5．
∵l與圓A相交弦長為2$\sqrt{21}$，∴點(diǎn)A（2，0）到直線l的距離為d，d=$\sqrt{{5^2}-{{（{\sqrt{21}}）}^2}}$=2，
又 d=$\frac{{|{3k+2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=2，
解得k=0或k=-$\frac{12}{5}$，
∴由點(diǎn)斜式得直線l的方程為，即y=2或y-2=-$\frac{12}{5}（{x+1}）$．
因此，綜上所述，所求的直線方程為y=2或y-2=-$\frac{12}{5}（{x+1}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．