Question

15．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），用水量不超過 x 的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出 x 的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解全市居民用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了 100 位居民某年的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中 a 的值；
（Ⅱ）若該市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn) x（噸），估計(jì) x 的值，并說明理由；
（Ⅲ）已知平價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 4 元/噸，議價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 8元/噸．當(dāng) x=3時(shí)，估計(jì)該市居民的月平均水費(fèi)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）

Answer 1

分析 （I）根據(jù)頻率和為1，列出方程求出a的值；
（II）求出月均用水量小于2.5噸和小于3噸的百分比，計(jì)算出有85%的居民每月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)的值；
（III）根據(jù)頻率分布直方圖，求出當(dāng) x=3時(shí)，估計(jì)該市居民的月平均水費(fèi)．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，
得：（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1，
解得：a=0.30；
（Ⅱ）∵前6組的頻率之和是（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88＞0.85，
而前5組的頻率之和為（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73＜0.85，
∴2.5≤x＜3，
由0.3×（x-2.5）=0.85-0.73，解得：x=2.9，
因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，
85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)；
（Ⅲ）設(shè)居民月用水量為t噸，相應(yīng)的水費(fèi)為y元，
則y=$\left\{\begin{array}{l}{4t，0＜t≤3}\\{3×4+（t-3）×8，t＞3}\end{array}\right.$，即y=$\left\{\begin{array}{l}{4t，0＜t≤3}\\{8t-12，t＞3}\end{array}\right.$，
由題設(shè)條件及月均用水量的頻率分布直方圖，
得居民每月的水費(fèi)數(shù)據(jù)分組與頻率分布表如下：

組號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
分組	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10）	[10，12）	[12，16）	[16，20）	[20，24）
頻率	0.04	0.08	0.15	0.20	0.26	0.15	0.06	0.04	0.02

根據(jù)題意，該市民的月平均水費(fèi)估計(jì)為：
1×0.04+3×0.08+5×0.15+7×0.20+9×0.26+11×0.15+14×0.06+18×0.04+22×0.02=8.42（元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，考查計(jì)算能力，難度不大，屬于中檔題．