Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD．

（I）在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；
（II）證明：平面PAB⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （I）M為PD的中點，直線CM∥平面PAB．取AD的中點E，連接CM，ME，CE，則ME∥PA，證明平面CME∥平面PAB，即可證明直線CM∥平面PAB；
（II）證明：BD⊥平面PAB，即可證明平面PAB⊥平面PBD．

解答 證明：（I）M為PD的中點，直線CM∥平面PAB．

取AD的中點E，連接CM，ME，CE，則ME∥PA，
∵ME?平面PAB，PA?平面PAB，
∴ME∥平面PAB．
∵AD∥BC，BC=AE，
∴ABCE是平行四邊形，
∴CE∥AB．
∵CE?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
∵ME∩CE=E，
∴平面CME∥平面PAB，
∵CM?平面CME，
∴CM∥平面PAB
若M為AD的中點，連接CM，
由四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD．
可得四邊形ABCM為平行四邊形，即有CM∥AB，
CM?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CM∥平面PAB；
（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB與CD相交，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
由（I）及BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴BD⊥平面PAB，
∵BD?平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．