Question

9．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A．已知$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸于點(diǎn)H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖形，把|OF|、|OA|、|FA|代入$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程，解方程求得a值，則橢圓方程可求；
（2）由已知設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），（k≠0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由BF⊥HF，得$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{HF}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}）•（1，-{y}_{H}）=0$，整理得到M的坐標(biāo)與k的關(guān)系，由∠MOA≤∠MAO，得到x₀≥1，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式求得k的范圍．

解答 解：（1）由$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，得$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-3}}+\frac{1}{a}=\frac{3•\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}}{a-\sqrt{{a}^{2}-3}}$，
即$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-3}}{a•\sqrt{{a}^{2}-3}}=\frac{3\sqrt{{a}^{2}-3}}{a（a-\sqrt{{a}^{2}-3}）}$，
∴a[a²-（a²-3）]=3a（a²-3），解得a=2．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由已知設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），（k≠0），
設(shè)B（x₁，y₁），M（x₀，k（x₀-2）），
∵∠MOA≤∠MAO，
∴x₀≥1，
再設(shè)H（0，y_H），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0．
△=（-16k²）²-4（3+4k²）（16k²-12）=144＞0．
由根與系數(shù)的關(guān)系得$2{x}_{1}=\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{1}=\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{1}=k（{x}_{1}-2）=\frac{-12k}{3+4{k}^{2}}$，
MH所在直線方程為$y-k（{x}_{0}-2）=-\frac{1}{k}（x-{x}_{0}）$，
令x=0，得${y}_{H}=（k+\frac{1}{k}）{x}_{0}-2k$，
∵BF⊥HF，
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{HF}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}）•（1，-{y}_{H}）=0$，
即1-x₁+y₁y_H=$1-\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}-\frac{12k}{3+4{k}^{2}}[（k+\frac{1}{k}）{x}_{0}-2k]=0$，
整理得：${x}_{0}=\frac{9+20{k}^{2}}{12（{k}^{2}+1）}≥1$，即8k²≥3．≤
∴$k≤-\frac{\sqrt{6}}{4}$或$k≥\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“整體運(yùn)算”思想方法和“設(shè)而不求”的解題思想方法，考查運(yùn)算能力，是難題．≤