Question

16．直線y=$\frac{1}{2}$x與雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1交于A，B兩點，P為雙曲線上不同于A，B的點，當直線PA，PB的斜率k_PA，k_PB存在時，k_PA•k_PB等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． 與P的位置有關

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出直線與雙曲線的交點坐標，設出點P的坐標，求出直線PA、PB的斜率，計算k_PA•k_PB的值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y得$\frac{7}{144}$x²=1，
解得x=±$\frac{12}{\sqrt{7}}$，∴y=±$\frac{6}{\sqrt{7}}$；
設A點（$\frac{12}{\sqrt{7}}$，$\frac{6}{\sqrt{7}}$），B點（-$\frac{12}{\sqrt{7}}$，-$\frac{6}{\sqrt{7}}$），
∵P為雙曲線上不同于A，B的點，設P（x，y），
并且滿足$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，則k_PA=$\frac{y-\frac{6}{\sqrt{7}}}{x-\frac{12}{\sqrt{7}}}$，k_PB=$\frac{y+\frac{6}{\sqrt{7}}}{x+\frac{12}{\sqrt{7}}}$，
∴k_PA•k_PB=$\frac{y-\frac{6}{\sqrt{7}}}{x-\frac{12}{\sqrt{7}}}$•$\frac{y+\frac{6}{\sqrt{7}}}{x+\frac{12}{\sqrt{7}}}$
=$\frac{{y}^{2}-\frac{36}{7}}{{x}^{2}-\frac{144}{7}}$
=$\frac{{x}^{2}•\frac{4}{9}-4-\frac{36}{7}}{{x}^{2}-\frac{144}{7}}$
=$\frac{\frac{4}{9}{（x}^{2}-\frac{144}{7}）}{{x}^{2}-\frac{144}{7}}$
=$\frac{4}{9}$．
故選：C．

點評 本題考查兩條直線斜率乘積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線斜率公式的合理運用．