Question

19．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為$\frac{π}{4}$，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=$\frac{π}{2}$，PA=BC=$\frac{1}{2}$AD．
（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB？若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，試說明理由．
（3）求二面角P-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)PA=1，由勾股定理逆定理得AC⊥CD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PA⊥CD，又PA∩AC=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可知CD⊥面PAC，而CD?面PCD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知面PAD⊥面PCD；
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，連接CE，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知平面EFC∥平面PAB，又CE?平面EFC，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知CE∥平面PAB，根據(jù)線面關(guān)系可知E為PD中點(diǎn)，使CE∥面PAB．
（3）根據(jù)二面角的定義，得到∠PCA是二面角P-CD-B即P-CD-A的平面角，利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)PA=1．由題意PA=BC=1，AD=2．
∵AB=1，BC=$\frac{1}{2}$AD，由∠ABC=∠BAD=90°，得CD=AC=$\sqrt{2}$．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．
又∵PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，
∴PA⊥CD．又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
又CD?面PCD，∴面PAC⊥面PCD．
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，連接CE．
∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，
∴平面EFC∥平面PAB．
又CE?平面EFC，
∴CE∥平面PAB．
∵BC=$\frac{1}{2}$AD，AF=BC，
∴F為AD的中點(diǎn)，∴E為PD中點(diǎn)．
故棱PD上存在點(diǎn)E，且E為PD中點(diǎn)，使CE∥面PAB．
（3）由（1）知CD⊥面PAC，
∵PC，AC?平面PAC．
∴CD⊥PC，CD⊥AC，
則∠PCA是二面角P-CD-B即P-CD-A的平面角，
∵PA=1，AC=$\sqrt{2}$．
∴PC=$\sqrt{3}$，
則cos∠PCA=$\frac{AC}{PC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即二面角P-CD-B的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間線面平行和面面垂直的判斷以及二面角的求解，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．