Question

7．如圖．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為梯形．PA⊥底面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=60°，AD∥BC，AC⊥CD．E為PD中點(diǎn)．
（I）求證：CE∥平面PAB；
（II）若PB與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$，求平面PAB與平面PCD所成的銳角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取AP得中點(diǎn)F，利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合線面平行的判定定理即可證明CE∥平面PAB；
（II）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，結(jié)合PB與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$，先求出高PA的值，利用向量法建立方程進(jìn)行求解．

解答 （Ⅰ）  取AP得中點(diǎn)F，連接EF、BF，因?yàn)锳B=BC=2，∠ABC=60°，
∴△ABC為正三角形，∴AC=2，
又   AD∥BC，∴∠DAC=60°，
又∵AC⊥CD，∴AD=$\frac{AC}{cos∠DAC}=4$，
又∵E、F分別為PD、PA的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，
又AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴四邊形EFBC為平行四邊形，
∴FB∥EC，
又FB?平面PAB，CE?平面PAB
∴CE∥平面PAB． 

 
（Ⅱ）分取BC中點(diǎn)為S，由（1）可得，于是AS⊥AD，
則AS，AD，AP兩兩垂直，
如圖，以AS為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，0，4），
設(shè)P（0，0，h），
設(shè)直線PB與平面PAC所成的角為θ，
則 sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{DC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，得h=2，
設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{m}$，易得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，3，0），
同理可得平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$，易得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，2），
平面PAB與平面PCD所成的角為α，
則cosα=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面平行的判斷以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．