Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點，點H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．
（1）求證：EH∥平面PBA；
（2）求平面FAH與平面EAH所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的性質定理證明平面EFH∥平面PAB即可證明EH∥平面PBA；
（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面FAH與平面EAH所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）因為△PAE≌△DAE⇒PE=DE，又EH⊥PD⇒H為PD中點，
又FH∥CD∥AB，F(xiàn)H?面PAB，AB?面PAB⇒FH∥平面PAB，…（2分）
又EF∥PB，EF?面PAB，PB?面PAB⇒EF∥平面PAB，…（4分）
EF∩HF=F，
∴平面EFH∥平面PAB，EH?平面EFH⇒EH∥平面PAB…（6分）
（2）如圖建立空間坐標系$E（\sqrt{3}，0，0）$，P（0，0，2），$C（\sqrt{3}，1，0）$D（0，2，0），$F（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1）$，H（0，1，1）
$\left\{\begin{array}{l}PD⊥AE\\ PD⊥AH\end{array}\right.⇒$$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$是平面EAH的法向量…（8分）
設平面FAH的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AF}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1），\overrightarrow{AH}=（0，1，1）$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AH}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+y+2z=0\\ y+z=0\end{array}\right.$，設$z=-\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$…（10分）$cos\left?{\overrightarrow{PD}，\overrightarrow n}\right＞=\frac{{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow n|}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{8}×\sqrt{1+3+3}}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$，
∴平面FAH與平面EAH所成二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{42}}}{7}$…（12分）

點評 本題主要考查空間線面平行的判斷以及二面角的求解，建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關鍵．綜合考查學生的運算和推理能力．