Question

19．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓Γ方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x+m與橢圓Γ交于不同兩點A，B，若點P（0，1）滿足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知點的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合橢圓的離心率和隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立橢圓方程和直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點M的坐標(biāo)，結(jié)合|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|得PM⊥AB，代入斜率公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1$，
又∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
由△＞0，得m∈（$-\sqrt{5}，\sqrt{5}$）．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}$，${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=\frac{2m}{5}$，
故AB的中點M（$-\frac{4m}{5}，\frac{m}{5}$）．
∵|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，∴PM⊥AB，則$\frac{\frac{m}{5}-1}{-\frac{4m}{5}}=-1$，得m=-$\frac{5}{3}$∈（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
∴實數(shù)m=-$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，訓(xùn)練了向量法在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．