Question

14．已知把函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，再把橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，再向下平移$\frac{1}{2}$個單位，得到函數(shù)g（x），則函數(shù)g（x）從原點(diǎn)起與x軸的正半軸，直線x=$\frac{π}{2}$圍成的面積為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{π}{2}$
• C． 1
• D． π

Answer 1

分析 先對三角函數(shù)進(jìn)行恒等變換，確定函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）的解析式，利用定積分可求曲線圍成的面積．

解答 解：∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{cos2x+1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數(shù)解析式為：y=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin2x+$\frac{1}{2}$，
再把橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到函數(shù)解析式為：y=sinx+$\frac{1}{2}$，
再向下平移$\frac{1}{2}$個單位，得到函數(shù)g（x）=sinx．
∴g（x）圖象與x軸的正半軸、直線x=π所圍成圖形的面積為：${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sinxdx=-cosx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)圖象的變換，利用定積分求曲線的面積，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，熟練應(yīng)用相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．