Question

19．如圖，拋物線C₁：y²=2px與橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在第一象限的交點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，△OAB的面積為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．
（1）求拋物線C₁的方程；
（2）過(guò)A點(diǎn)作直線L交C₁于C、D兩點(diǎn)，求線段CD長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式求得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得B點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求p的值，即可寫出拋物線方程；
（2）設(shè)出C和D點(diǎn)的坐標(biāo)及直線CD的方程，代入拋物線方程，求得關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，寫出y₁+y₂和y₁y₂的表達(dá)式，根據(jù)拋物線弦長(zhǎng)公式，求得CD的最小值．

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，焦點(diǎn)在軸，頂點(diǎn)A（4，0），
∵△OAB的面積為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，S_△OAB=$\frac{1}{2}$x_A•y_B=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，
∴y_B=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
將y_B=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，代入橢圓方程得x_B=$\frac{4}{3}$，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$），
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程：求得（$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）²=2P×$\frac{4}{3}$，解得p=4，
∴拋物線C₁的方程是：y²=8x．  …（5分）
（2）拋物線C₁y²=8x的焦點(diǎn)為A（2，0）． 
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直線CD的方程為：x-4=my，將直線方程代入y²=8x，得：y²-8my-32=0，
由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=8m，y₁y₂=-32，…（7分）
∴丨CD丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64（{m}^{2}+2）}$，
=8$\sqrt{{m}^{4}+3{m}^{2}+2}$，
=8$\sqrt{（{m}^{2}+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$，
∴當(dāng)m²=0時(shí)，CD長(zhǎng)度取最小值，最小值為8$\sqrt{2}$．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法及弦長(zhǎng)公式，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．