已知f(x)=sin(2x+
π
6
)+sin(2x-
π
6
)+2sin2x+a的最大值為2.
(Ⅰ)求a的值及f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若x∈[-
π
2
π
2
],求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
考點(diǎn):三角函數(shù)的周期性及其求法,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性
專題:三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(Ⅰ)化簡解析式可得f(x)=2sin(2x-
π
6
)+1+a,由已知可求得a=-1,可得解析式f(x)=2sin(2x-
π
6
),從而可求最小正周期;
(Ⅱ)由x∈[-
π
2
,
π
2
],可得2x-
π
6
∈[-
6
,
6
],從而可求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
解答: 解:(Ⅰ)∵f(x)=sin(2x+
π
6
)+sin(2x-
π
6
)+2sin2x+a=
3
sin2x-cos2x+1+a=2sin(2x-
π
6
)+1+a,
∵f(x)=sin(2x+
π
6
)+sin(2x-
π
6
)+2sin2x+a的最大值為2,
∴1+a=0,
∴a=-1,
∴f(x)=sin(2x+
π
6
)+sin(2x-
π
6
)+2sin2x+a=
3
sin2x-cos2x+1+a=2sin(2x-
π
6
),
∴T=
2
=π,
(Ⅱ)∵x∈[-
π
2
,
π
2
],
∴2x-
π
6
∈[-
6
,
6
],
∴由正弦函數(shù)的和性質(zhì)可知,當(dāng)x=-
π
6
時(shí),f(x)min=2sin(-
π
2
)=-2,當(dāng)x=
π
3
時(shí),f(x)max=2sin(
π
2
)=2,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-
π
6
π
3
].
點(diǎn)評:本題主要考察了三角函數(shù)的周期性及其求法,兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于基本知識(shí)的考查.
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a
,
b
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a
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a
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