Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞．-1]單調(diào)遞減，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個不同的解x₁，x₂，求k的取值范圍，并證明

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運用絕對值的含義，化f（x）為分段函數(shù)，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到k的范圍；
（2）運用參數(shù)分離，討論0＜x＜1，1≤x＜2時，函數(shù)的單調(diào)性及值域，并求出相應(yīng)方程的根，即可得到k的范圍，以及兩根的倒數(shù)之和小于4．

解答： 解：（1）f(x)=

kx+1，-1＜x＜1 2x2+kx-1，x≥1或x≤-1

，
當x≥1或x≤-1時，f（x）=2（x+

k

4

）²-1-

k2

8

，
由函數(shù)f（x）在（-∞．-1]單調(diào)遞減，
則(-∞，-1]⊆(-∞，-

k

4

]，
可得k≤4．
（2）方程f（x）=0，即為k=-x-|x-

1

x

|=

- 1 x ，0＜x＜1 -2x+ 1 x ，1≤x＜2

．
∵x∈（0，1）時，-

1

x

單調(diào)遞增，且-

1

x

∈(-∞，-1)；
x∈[1，2）時，-2x+

1

x

單調(diào)遞減，且-2x+

1

x

∈(-

7

2

，-1]．
∴要使方程f（x）=0在（0，2）上有兩個不同的解x₁，x₂，必須且只須-

7

2

＜k＜-1．
此時x1=-

1

k

，x2=

-k+ k2+8

4

．
則

1

x1

+

1

x2

=-k+

4

-k+ k2+8

=

k2+8 -k

2

．
因為g(k)=

k2+8 -k

2

=

4

k2+8 +k

在(-

7

2

，-1)上單調(diào)遞減，
所以g(k)＜g(-

7

2

)=4．
即有

1

x1

+

1

x2

＜4．

點評：本題考查絕對值函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．